【数学Ⅰ】二次関数の最大最小問題がクリアに理解できるブログ

こんにちは。べんとうです。

今回は二次関数の最大最小問題を解説していきたいと思います。

この最大最小問題には、３つの万能な考え方があります。

この万能な考え方を順を追って説明していきますね。

※平方完成のやり方については、今回は省略させてくださいorz|||

沖田の数学1・Aをはじめからていねいに（数と式集合と論証2次関数編） 大学受験 （東進ブックス） [ 沖田一希 ]

＜万能な考え方①＞

二次関数には２つの形がある。

とりあえず、今回紹介する二次関数の形は２つです。

・y=ax²+bx+c　(a)

・y=a(x-p)²+q　(b)

実は、最大最小問題を解くうえで、(a)の式は最悪です

あまりにもわかりにくい式の形です。

最大最小問題を解くときは、(b)の式で攻めましょう。

＜万能な考え方②＞

変域の捉え方は2つある

(1)どこを歩いたか

(2)ひも

あくまでもこれは比喩表現となります。

しかし、頭に入れてください。

(1)どこを歩いたか

例）y=x²　(1≦x≦4)

１がSTART, 4がGOALって感じで、

このオレンジの棒人間が滑り台を逆走したものと考えてください。

要は「どこを歩いたか」を示しているわけですね。

...とりあえず、それだけ頭に入れていただきましょう笑

　　「どこを歩いたか」

(2)ひも

上の図の赤い部分だけ取り出します。

この変域を表す「ひも」をどこに貼り付けるか

...何を言っているかというと

ひもには中心がありますよね（青い点）

この中心が、軸からずれたらズリ落ちそうですよね。

もちろん下に凸でも同じです。

ということで、要するに

変域の捉え方は「どこを歩いたか」と「ひも」です。

＜万能な考え方③＞

〇解法のアプローチを２つ覚える

★アプローチA

頂点を越えるか越えないかの判断

★アプローチB

ひもがどちらにズリ落ちそうかの判断

ちなみにひもの中心は平均値です。

※厳密にいうと「中心じゃねぇだろ！」というツッコミが飛んできますが、あまりに気にしないでください。

↓ちなみに坂田アキラさんの参考書、数列だけ買ったことありますが、めちゃわかりやすいです。オススメ。

坂田アキラの2次関数が面白いほどわかる本改訂版 （坂田アキラの理系シリーズ） [ 坂田アキラ ]

それでは一つ問題を解いてみましょう

y=-x²+4ax-a (0≦x≦3)の最大値・最小値を求めよ

解答）

まず、y=-x²+4ax-a。この形は最悪だ。

平方完成をしないと前に進めません。

なので、ほいっ。

y=-(x-2a)²+4a²-a

さて、まず最大値を求めてみましょうか。

区間 0≦x≦3を歩いている時に、頂点を越えられたか越えられなかったかが重要になってきそうですよね。

だって最大値だもん。山を越えた時点で、その山の頂点が最大値でしょ？

それがあるのとないのとでは大きな差ですよね。

ちなみに軸はx=2aだよね。

（ほら見てみろよ。y=-(x-2a)²+4a²-a）

っつーことで、

(i)3が2a(軸)より左側のとき

つまり、3≦2aのとき。（3/2≦a）

x=3で最大をとるので、y=〇〇

（気になる方は各自で求めてみてください。今回は解き方が分かればいいので）

この調子で...

(ii)0≦2a≦3　(0≦a≦3/2)のとき

x=2a(頂点)で最大を取り、y=〇〇

(iii)2a≦0　(a≦0)のとき

x=0で最大値を取り、y=〇〇

どうですか？わかってきましたかね？

次は、最小値を求めましょう。

【ポイント】

ひもがどちらにズレるか

↓(判断)

どちらの「標高」が低いか、ばっちりわかる！

こういう風に場合分けすればイイコトがあります。

それは...

どちらの標高が低いか

一目でわかるじゃないですか。

さあ、続けましょう。

(i)3/2≦2a (3/4≦a)のとき

最小値はx=0のとき、y=〇〇

(ii)2a≦3/2 (a≦3/4)のとき

最小値はx=3のとき、y=〇〇

という感じです。

もう忘れないでしょう笑

ちなみに、

迷ったらイコールつけてください。

カブりがあるのはno problemです。

むしろ、抜けがある方が、yes problemです（なんじゃそりゃ）。

高校とってもやさしい数学1・A　改訂版　その2 [ 及川久遠 ]

3つほどブログの中で参考書を紹介しました。

是非チェックしてみてください。

まあ、高1・高2の方は、あまり参考書にこだわらなくてもいいかもしれません。

べんとう